Operador laplaciano

En cálculo vectorial, el operador laplaciano o laplaciano es un operador diferencial elíptico de segundo orden, denotado como Δ, relacionado con ciertos problemas de minimización de ciertas magnitudes sobre un cierto dominio. El operador tiene ese nombre en reconocimiento a Pierre-Simon Laplace que estudió soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales en las que aparecía dicho operador.

Expresado en coordenadas cartesianas es igual a la suma de todas las segundas derivadas parciales no mixtas dependientes de una variable. Se hace uso del símbolo delta (Δ) o nabla cuadrado (${\displaystyle \nabla ^{2}}$) para representarlo. Si ${\displaystyle \phi }$ es un campo escalar, su laplaciano puede escribirse en términos del operador nabla como:

${\displaystyle \Delta \phi =(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi \qquad \qquad }$

También existe el laplaciano vectorial, que sobre un campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {A} }$ actúa mediante:

${\displaystyle \Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} }$